Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示
（1）求证：PA⊥BD；
（2）是否在线段PD上存在一Q点，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，设λ=

DQ

DP

，若存在，求λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三视图可知P-ABCD为一个底面棱长为2，侧高为

7

的正四棱锥，连接连接AC，BD交于点O，连接PO，由正方形的性质及O为顶点在底面上的射影，易结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，进而由线面垂直的性质，得到BD⊥PA；
（2）由AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，再根据二面角Q-AC-D的平面角为30°，我们易求出满足条件 的DQ的长，进而求出λ的值．

解答：证明：（1）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA=PB=PC=PD
连接AC，BD交于点O，连接PO，
因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA；（6分）
解：（2）由三视图可知，BC=2，PA=2

2

，假设存在这样的D点
因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，（8分）
△PDO中，PD=2

2

，OD=

2

，则∠PDO=60°，△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．
所以DP⊥OQ，所以OD=

2

，QD=

2

2

（11分）
λ=

DQ

DP

=

1

4

（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，由三视图还原实物图，其中（1）的关键是从已知的三视图中分析出棱锥的形状，（2）的关键是找出二面角Q-AC-D的平面角，再根据已知求出满足条件的DQ的长．