Question

已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线y²=2x的准线为双曲线C的一条准线．动直线l过双曲线C的右焦点F且与双曲线的右支交于P、Q两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）无论直线l绕点F怎样转动，在双曲线C上是否总存在定点M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）又椭圆得焦点坐标，得出双曲线中c的值，再由抛物线y²=2x的准线为双曲线C的一条准线，得出双曲线中a的值，则b可求，双曲线C的方程可得．
（2）先假设存在在定点M，使MP⊥MQ恒成立，设出M点坐标，根据MP⊥MQ，求P点坐标，如能求出，则P存在，求不出，则P不存在．
解答：解：（1）设F（c，0）（c＞0），则由题意有：∴c²=4，a²=1，b²=3
故双曲线C的方程为，
（2：由（1）得点F为（2，0）
当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将方程y=k（x-2）与双曲线方程联立消去y得：（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴解得k²＞3
假设双曲线C上存在定点M，使MP⊥MQ恒成立，设为M（m，n）
则：=（x₁-m）（x₂-m）+[k（x₁-2）-n][k（x₂-2）-n]
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+kn+m）（x₁+x₂）+m²+4k²+4kn+n²==
∵MP⊥MQ，∴，
故得：（m²+n²-4m-5）k²-12nk-3（m²+n²-1）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴，解得
∴当点M为（-1，0）时，MP⊥MQ恒成立；
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）知点M（-1，0）使得MP⊥MQ也成立．
又因为点（-1，0）是双曲线C的左顶点，
所以双曲线C上存在定点M（-1，0），使MP⊥MQ恒成立．
点评：本题考查三种圆锥曲线的关系，以及存在性问题，综合性强，须认真审题．