Question

【题目】各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N* ， 有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记bn= ，求数列{bn}的前n项和T．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p

∴2a1=2pa12+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1

（2）解：2Sn=2an2+an﹣1，①

2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），②

①﹣②即得（an﹣an﹣1﹣ ）（an+an﹣1）=0，

因为an+an﹣1≠0，所以an﹣an﹣1﹣ =0，

∴

（3）解：2Sn=2an2+an﹣1=2× ，

∴Sn= ，

∴ =n2n

Tn=1×21+2×22+…+n2n③

又2Tn=1×22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1④

④﹣③Tn=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）根据a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p，令n=1，解方程即可求得结果；（2）由2Sn=2an2+an﹣1，知2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），所以（an﹣an﹣1﹣1）（an+an﹣1）=0，由此能求出数列{an}的通项公式．（3）根据 求出数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．