Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（　　）

A．2ab＞c²

B．a²+b²＜c²

C．2bc＞a²

D．b²+c²＜a²

Answer 1

分析：由条件利用诱导公式以及两角和与差的余弦函数公式求得cos（A+B）＞0，可得A+B＜

π

2

，C＞

π

2

，故△ABC形状
一定是钝角三角形，从而得到a²+b²＜c² ，由此得出结论．

解答：解：在△ABC中，由cos（2B+C）+2sinAsinB＜0可得，cos（B+B+C）+2sinAsinB＜0．
∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB＜0，即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB＜0．
∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB＜0，-cosBcosA+sinBsinA＜0．
即-cos（A+B）＜0，cos（A+B）＞0．
∴A+B＜

π

2

，∴C＞

π

2

，故△ABC形状一定是钝角三角形，故有 a²+b²＜c² ．
故选 B．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．