Question

12．如图，已知OPQ是半径为$\sqrt{7}$圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠BOC为α．
（Ⅰ）若Rt△CBO的周长为$\frac{{\sqrt{7}（2\sqrt{10}+5）}}{5}$，求$\frac{3-cos2α}{co{s}^{2}α-sinαcosα}$的值．
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$的最大值，并求此时α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公式进行化简进行求解．
（Ⅱ）结合向量的数量积公式，结合三角函数的带动下进行求解．

解答 解：（Ⅰ）BC=OCsinα=$\sqrt{7}$sinα，OB=OCcosα=$\sqrt{7}$cosα，
则若Rt△CBO的周长为$\frac{{\sqrt{7}（2\sqrt{10}+5）}}{5}$，
则$\sqrt{7}$+$\sqrt{7}$sinα+$\sqrt{7}$cosα=$\frac{{\sqrt{7}（2\sqrt{10}+5）}}{5}$，
sinα+cosα=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
平方得2sinαcosα=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{2sinαcosα}{sin^2α+cos^2α}$=$\frac{2tanα}{1+tan^2α}$=$\frac{3}{5}$，
解得tanα=3（舍）或tanα=$\frac{1}{3}$．
则$\frac{3-cos2α}{co{s}^{2}α-sinαcosα}$=$\frac{2（cos^2α+2sin^2α）}{cos^2α-sinαcosα}$=$\frac{2（1+2tan^2α）}{1-tanα}$=$\frac{2（1+2×\frac{1}{9}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{11}{3}$．
（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC=OCsinα=$\sqrt{7}$sinα，OB=OCcosα=$\sqrt{7}$cosα，
在Rt△ODA中，
OA=DAtan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sinα，
∴AB=OB-OA=$\sqrt{7}$（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα），
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{OA}$|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{7}$（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα）•$\frac{\sqrt{21}}{3}$sinα$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}（{cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα}）•sinα\end{array}$$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}（{sinαcosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{{sin}^2}α}）\end{array}$$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}[{\frac{1}{2}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}（{1-cos2α}）}]\end{array}$$\begin{array}{l}=\frac{{7\sqrt{3}}}{3}（{\frac{1}{2}sin2α+\frac{{\sqrt{3}}}{6}cos2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）\end{array}$
=$\frac{{7\sqrt{3}}}{3}[{\frac{1}{{\sqrt{3}}}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2α+\frac{1}{2}cos2α}）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}]=\frac{7}{3}sin（{2α+\frac{π}{6}}）-\frac{7}{6}（{0＜α＜\frac{π}{3}}）$
∵$0＜α＜\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴当$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
即$α=\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$有最大值$\frac{7}{6}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，考察学生的运算和推理能力．