Question

设i是虚数单位，复数Z和w满足Zw＋2iZ－2iw＋1＝0

(1)设Z和w又满足－Z＝2i，求Z和w的值；

(2)求证：如果|Z|＝，那么|w－4i|的值是常数，并求这个常数．

Answer 1

答案：
解析：

解：本题主要考查复数的代数运算及模的几何意义． 　　(1)w＝－i，Z＝－i． 　　(2)证明：由Zw＋2iZ－2iw＋1＝0，有Z(w＋2i) 　　＝2iw－1 　　∴|Z|·|w＋2i|＝|2iw－1|　　① 　　设w＝x＋yi(x，y∈R)，则有|w＋2i|＝|x＋(y＋2)i|＝x2＋(y＋2)2 　　＝ 　　|2iw－1|＝|－(2y＋1)＋2xi|＝ 　　又|Z|＝，故①式可变为 　　3(x2＋y2＋4y＋4)＝3x2＋4y2＋4y＋1 　　∴x2＋y2－8y＝11 　　∴|w－4i|＝|x＋(y－4)i|＝ 　　∴|w－4i|的值是常数，且等于．