Question

【题目】近几年，由于环境的污染，雾霾越来越严重，某环保公司销售一种PM2.5颗粒物防护口罩深受市民欢迎．已知这种口罩的进价为40元，经销过程中测出年销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售这种口罩的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．
（I）求y关于x的函数关系；
（II）写出该公司销售这种口罩年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式
（年获利=年销售总金额﹣年销售口罩的总进价﹣年总开支金额）；当销售单价x为何值时，年获利最大？最大获利是多少？
（III）若公司希望该口罩一年的销售获利不低于57.5万元，则该公司这种口罩的销售单价应定在什么范围？在此条件下要使口罩的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

Answer 1

【答案】解：（I）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3）， ，得k=﹣ ，b=12，

∴

（II） 由题意，得

w=y（x﹣40）﹣z

=y（x﹣40）﹣（10y+42.5）

=（﹣ x+12）（x﹣40）﹣10（﹣ x+12）﹣42.5

=﹣0.1x2+17x﹣642.5=﹣ （x﹣85）2+80．

当销售单价为85元时，年获利最大，最大值为80万元

（III）令W≥57.5，﹣0.1x2+17x﹣642.5≥57.5，

整理得x2﹣170x+7000≤0，解得70≤x≤100．

故要使该口罩一年的销售获利不低于57.5万元，单价应在70元到100元之间．

又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大且获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．

【解析】（I）由图象可知y关于x的函数关系式是一次函数，设y=kx+b，用“两点法”可求解析式；（II）根据年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额，列出函数关系式；（III）令W≥57.5，从而确定销售单价x的范围，及二次函数w最大时，x的值．