Question

已知a和b是任意非零实数．
（1）求

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得 

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥

|2a+b+2a-b|

|a|

=

|4a|

|a|

=4．
（2）由题意可得|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，由于

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值为4，故有x的
范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．

解答：解：（1）∵

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥

|2a+b+2a-b|

|a|

=

|4a|

|a|

=4，
故

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值为4．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
 即|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，故|2+x|+|2-x|不大于

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．（4分）
由（1）可知，

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a-b）≥0时取等号，
∴

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值等于4．（8分）
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集．
解不等式得-2≤x≤2，故实数x的取值范围为[-2，2]． （10分）

点评：本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想．