Question

11．（1）以极坐标系Ox为极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程cosθ+ρ²sinθ=1化成直角坐标方程．
（2）在直角坐标系xOy中，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），过点P（2，1）的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|•|PB|=$\frac{8}{3}$，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）极坐标方程cosθ+ρ²sinθ=1，化为ρcosθ+ρ²•ρsinθ=ρ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．过点P（2，1）的直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α∈$（0，\frac{π}{2}）$）．代入椭圆方程可得：（1+sin²α）t²+4t（cosα+sinα）+4=0．可得t₁t₂，t₁+t₂．利用|PA|•|PB|=$\frac{8}{3}$=|t₁t₂|，解得sin²α，即可得出|AB|=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）极坐标方程cosθ+ρ²sinθ=1，化为ρcosθ+ρ²•ρsinθ=ρ，化为x+（x²+y²）y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，即为直角坐标方程．
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
过点P（2，1）的直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α∈$（0，\frac{π}{2}）$）．
代入椭圆方程可得：（1+sin²α）t²+4t（cosα+sinα）+4=0．
∴t₁t₂=$\frac{4}{1+si{n}^{2}α}$，t₁+t₂=$\frac{-4（cosα+sinα）}{1+si{n}^{2}α}$．
∵|PA|•|PB|=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{4}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{8}{3}$，解得sin²α=$\frac{1}{2}$，解得$sinα=cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
|AB|=|t₁+t₂|=$\frac{4|cosα+sinα|}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．