Question

2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为2，F₁，F₂分别是左、右焦点，过F₂的直线L与相交于M、N两点，且|MF₁|，|MN|，|NF₁|成等差数列．
（1）求|MN|；
（2）若直线L的斜率为1，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （1）由|MF₁|，|MN|，|NF₁|成等差数列，可得|MF₁|+|NF₁|=2|MN|．由椭圆的定义可得：|MF₁|+|MF₂|=|NF₁|+|NF₂|=2，联立即可解出．
（2）直线L的方程为：y=x-c．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（2-c²）x²-2cx+2c²-1=0，利用弦长公式可得：$\frac{4}{3}$=|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，代入解出c即可得出．

解答 解：（1）∵|MF₁|，|MN|，|NF₁|成等差数列，∴|MF₁|+|NF₁|=2|MN|．
由椭圆的定义可得：|MF₁|+|MF₂|=|NF₁|+|NF₂|=2，
∴|MF₂|+|NF₂|=4-2|MN|=|MN|，
∴|MN|=$\frac{4}{3}$．
（2）直线L的方程为：y=x-c．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{1-{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（2-c²）x²-2cx+2c²-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2c}{2-{c}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{c}^{2}-1}{2-{c}^{2}}$，
∴$\frac{4}{3}$=|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{c}^{2}}{（2-{c}^{2}）^{2}}-\frac{4（2{c}^{2}-1）}{2-{c}^{2}}]}$，
化为：8c⁴-14c²+5=0，0＜c＜1．
解得c²=$\frac{1}{2}$．
∴b²=1-c²=$\frac{1}{2}$．
∴椭圆E的标准方程为：x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．