【题目】已知函数f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值﹣2.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)=a(x﹣2)2+b﹣4a,
∵a>0,开口向上,对称轴x=2,
∴f(x)在[0,1]递减,
∴f(0)=b=1,f(1)=b﹣3a=﹣2,
∴a=b=1;
(2)解:∵f(x)=x2﹣4x+1≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,
∴ 在x∈(0,+∞)上恒成立,
∵双勾函数y=x+ 在(0,1]递减,在[1,+∞)递增,
∴当x=1时,x﹣4+ 取得最小值,且为2﹣4=﹣2,
则m≤﹣2.
【解析】(1)求得f(x)的对称轴方程,可得f(x)在[0,1]递减,即可得到最值,解方程可得a,b的值;(2)由题意可得 在x∈(0,+∞)上恒成立,运用对号函数的单调性,可得右边函数的最小值,即可得到m的范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值),还要掌握二次函数的性质(当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减)的相关知识才是答题的关键.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数 .若曲线在点处的切线方程为(为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式在(0,+)上恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】设函数 .若曲线在点处的切线方程为(为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式在(0,+)上恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,PB⊥面ABCD,BA=BD= ,AD=2,E,F分别是棱AD,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面PAB;
(2)若二面角P﹣AD﹣B为60°,求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
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【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3. (Ⅰ)求函数f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx> ﹣ 成立.
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