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    设函数f（x）对x≠0的任意实数，恒有数学公式成立．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在数学公式上是增函数．

    （1）解：由f（x）-2，①
    得，②（2分）
    ①+②×②，得-3f（x）=x2+．
    ∴．（4分）
    （2）证明：任取0＜x1＜x2≤．（6分）

    =
    =
    = （8分）
    ∵0＜x1＜x2≤，
    ∴．
    而x1x2＞0，x12x22＞0，
    ∴．（10分）
    ∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，]上是增函数．（12分）
    分析：（1）由f（x）-2，得，由此能求出函数f（x）的解析式．
    （2）任取0＜x1＜x2≤．=，由0＜x1＜x2≤，得，由此能够证明f（x）在（0，]上是增函数．
    点评：本题考查函数的恒成立问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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    设函数f（x）=
    x+sinx
    x
    ．
    （Ⅰ） 判断f（x）在区间（0，π）上的增减性并证明之；
    （Ⅱ） 若不等式0≤a≤
    		x-3
    +
    		4-x
    对x∈[3，4]恒成立，求实数a的取值范围M；
    （Ⅲ）设0≤x≤π，且a∈M，求证：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x≥0．

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    设函数f（x）对x≠0的一切实数均有f(x)+2f(
    2012
    x
    )=3x    ，则f（2）等于（　　）

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    设函数f（x）（x∈N）表示x除以2的余数，函数g（x）（x∈N）表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：
    ①f（x）≠g（x）；②g（2x）=2g（x）；③f（2x）=0；④f（x）+f（x+3）=1．其中正确的式子编号是
    ③④
    ③④
    ．（写出所有符合要求的式子编号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）对x≠0的任意实数，恒有f(x)-2f(
    1
    x
    )=x2+1    成立．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在(0，
    42
    ]    上是增函数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•石景山区一模）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
    ①f（x）=0；
    ②f（x）=x2；
    ③f（x）=
    		2
    （sinx+cosx）；
    ④f（x）=
    x
    x2+x+1
    ；
    ⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
    其中是F函数的序号为
    ①④⑤
    ①④⑤
    ．

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