Question

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（1）证明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；
（2）设x为f（x）的一个极值点，证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx，能够证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx．
（2）由f'（x）=Sinx+xSinx得：f'（x）=Sinx+xSinx=0，由Sin²x+cos²x=1联立得：，由此能够证明．
解答：解：（1）f（x+2kπ）-f（x）
=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx
=（x+2kπ）Sinx-xSinx
=xSinx+2kπSinx-xSinx
=2kπSinx…（6分）
（2）由f'（x）=sinx+xcosx，
得：f'（x）=sinx+xcosx=0…（8分）
又sin²x+cos²x=1联立，
得：…（12分）
∴[f（x）]²=x²Sin²x==…（14分）
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．