Question

8．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）²+$\frac{1}{ab}$取到最小值时，b=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据基本不等式，$a+4b≥4\sqrt{ab}$，a=4b时取等号，进而得出$（a+4b）^{2}+\frac{1}{ab}≥16ab+\frac{1}{ab}$，进一步可求出a=1，$b=\frac{1}{4}$时，$（a+4b）^{2}+\frac{1}{ab}$取到最小值，即求出了此时的b的值．

解答 解：∵a＞0，b＞0；
∴$a+4b≥4\sqrt{ab}$，当a=4b时取“=”；
∴（a+4b）²≥16ab；
∴$（a+4b）^{2}+\frac{1}{ab}≥16ab+\frac{1}{ab}$
=$4[a（4b）]+\frac{4}{a（4b）}$
8，当$a（4b）=\frac{1}{a（4b）}$，即${a}^{2}=\frac{1}{{a}^{2}}$，a=1时取“=”；
此时，b=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．