Question

给出下列命题：
①若函数f(x)=

x3+2x-3 x-1 ，(x＞1) ax+1，(x≤1)

在点x=1处连续，则a=4；
②若不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是1＜a＜3；
③不等式（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是x|x≥2．
其中正确的命题有

 

．（将所有真命题的序号都填上）

Answer 1

分析：根据所给的分段函数，在这一点连续说明在这一点一个的极限和另一个的函数值相等，得到a的值，第二个是一个函数恒成立问题，注意对勾函数的值域，第三个是解一个不等式，条件中漏掉解集中的元素．

解答：解：∵函数f(x)=

x3+2x-3 x-1 ，(x＞1) ax+1，(x≤1)

在点x=1处连续，
∴a+1=

lim	x3+2x-3 x-1 x-＞1

∴a+1=5
a=4，故①正确，
若不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立
∵|x+

1

x

|≥2，
∴|a-2|+1≤2
∴实数a的取值范围是1＜a＜3；故②正确，
∵不等式（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2，或x=4或x=-2}
故③不正确，
总上可知①②正确，
故答案为：①②

点评：本题考查函数的连续性，考查函数恒成立问题，解题的关键是正确利用函数的思想来理解题意，注意数字的运算．