Question

已知函数f（x）=，其中，，且w为正实数．
（1）求f（x）的最小值；
（2）对任意m∈R，函数y=f（x），x∈[m，m+4π]的图象与直线2y+1=0有且仅有一个交点，试判断函数f（x+）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵，=（siωx+cosωx，1），
函数 f（x）==cosωx（sinωx+cosωx）+0=sinωx•cosωx+cos²ωx
=sin2ωx+=sin（2ωx+）+．
故函数 f（x）的最小值为-1+=-．
（2）由题意可得，函数的周期为4π，故=4π，ω=．
∴f（x+）=sin（x++）+=cos（）+=cos（-）+，x∈R，
故函数f（x+） 为偶函数．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数f（x）=sin（2ωx+）+，由此求得它的最小值．
（2）由题意可得，函数的周期为4π，由此求得ω的值，化简函数f（x+）的解析式cos（）+，可得函数为偶函数．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，余弦函数的奇偶性，诱导公式的应用，属于中档题．