【题目】已知是椭圆:的左焦点,O为坐标原点,为椭圆上的点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点都在椭圆上,且中点在线段(不包括端点)上,求面积的最大值,及此时直线的方程.
【答案】(1);(2)面积的最大值为1,此时直线的方程为
【解析】
(1)依题意可得,求出,即可得到椭圆的标准方程;
(2)设,,,易知直线AB的斜率存在,设为k,将两点坐标分别代入椭圆方程,所得两式相减,可得到,进而可求出k的值,从而设出直线的方程,并与椭圆方程联立,得到关于的一元二次方程,分别表示出弦长及点O到直线AB的距离,从而可求得面积的表达式,进而求出最大值,并求得此时直线的方程.
(1)依题意可得,
即,解得,则.
故椭圆的标准方程为;
(2)设,,,
依题意可知,直线AB的斜率存在,设为k,
则,所以,
即,
又,,,所以,
又直线OP:,M在线段OP上,所以,所以.
设直线AB的方程为,
联立方程,可得,
,,,
且,即,解得,
所以,,
又点O到直线AB的距离,
所以,
当且仅当,即舍去时,等号成立,此时直线方程为.
所以面积的最大值为1,此时直线的方程为.
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【题目】已知椭圆的左焦点为,是椭圆上关于原点对称的两个动点,当点的坐标为时,的周长恰为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于两点,且 ,求面积的取值范围.
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【题目】如图,直三棱柱中,,,为的中点.
(I)若为上的一点,且与直线垂直,求的值;
(Ⅱ)在(I)的条件下,设异面直线与所成的角为45°,求直线与平面成角的正弦值.
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【题目】坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线的极坐标方程为().
(1)写出直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)平移直线使其经过曲线的焦点,求平移后的直线的极坐标方程.
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【题目】已知曲线的参数方程为(为参数),,为曲线上的一动点.
(I)求动点对应的参数从变动到时,线段所扫过的图形面积;
(Ⅱ)若直线与曲线的另一个交点为,是否存在点,使得为线段的中点?若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某公司代理销售某种品牌小商品,该产品进价为5元/件,销售时还需交纳品牌使用费3元/件,售价为元/件,其中,且.根据市场调查,当,且时,每月的销售量(万件)与成正比;当,且时,每月的销售量(万件)与成反比.已知售价为15元/件时,月销售量为9万件.
(1)求该公司的月利润(万件)与每件产品的售价(元)的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,该公司的月利润最大?并求出最大值.
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