【题目】已知函数f(x)=sin ωxcos ωx-sin2ωx+1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
.
(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)如图,在锐角三角形ABC中有f(B)=1,若在线段BC上存在一点D使得AD=2,且AC=,CD=
-1,求三角形ABC的面积.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用倍角公式降幂,结合辅助角公式化一可得正弦型函数,进而结合正弦函数性质即可求解;
(Ⅱ)讲f(B)=1代入解析式得B=,在△ADC中由余弦定理可得cos C=
,解出三角形即可求面积.
试题解析:
(Ⅰ)f(x)=sin 2ωx-
+1=sin
+
.
因为相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π,即
=π,所以ω=1.
故f(x)=sin+
.
令+2kπ≤2x+
≤
+2kπ(k∈Z),解得
+kπ≤x≤
+kπ(k∈Z).
所以f(x)的单调递减区间为 (k∈Z).
(Ⅱ)由f(B)=sin+
=1,即sin
=
.
由0<B<得
<2B+
<
,所以2B+
=
,解得B=
.
再由已知:AC=, CD=
-1,AD=2.
∴在△ADC中,由AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos C,得cos C=,
又∠C∈(0°,90°),∴∠C=45°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=75°.
在△ABC 中,由=
,得AB=2,
∴S△ABC=·AB·AC·sin∠BAC=
×2×
×
=
.
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【题目】已知O为坐标原点,向量 =(sinα,1),
=(cosα,0),
=(﹣sinα,2),点P是直线AB上的一点,且
=
.
(1)若O,P,C三点共线,求tanα的值;
(2)在(Ⅰ)条件下,求 +sin2α的值.
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【题目】已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+b,a,b为实数.
(1)当b=﹣6时,解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>0的解集为(﹣1,3),求实数a,b的值.
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【题目】某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计,随机抽取了M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 20 | 0.25 |
[15,20) | 50 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 4 | 0.05 |
合计 | M | N |
(1)求表中n,p的值和频率分布直方图中a的值,并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数;
(2)如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人,再从这6人中选2人,求2人服务次数都在[10,15)的概率.
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,棱长为a,E是棱DD1的中点
(1)求三棱锥E﹣A1B1B的体积;
(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.
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