Question

4．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C=-$\frac{1}{8}$．
（1）求sinC；
（2）当a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，且b=3$\sqrt{7}$时，求a．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式cos2C=1-2sin²C求解即可，注意隐含条件sinC＞0；
（2）由sinC=$\frac{3}{4}$，可求cosC，由a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，又正弦定理可得sinA，cosA，利用两角和的正弦函数公式可求sinB，由正弦定理可得a的值．

解答 解：（1）由已知可得1-2sin2C=-$\frac{1}{8}$．所以sin2C=$\frac{9}{16}$．
因为在△ABC中，sinC＞0，
所以sinC=$\frac{3}{4}$．（6分）
（2）∵在锐角△ABC中，sinC=$\frac{3}{4}$，∴可得cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，可得：$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，又由正弦定理可得：$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$，
∴可得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{3}$sinC=$\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，解得：cosA=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{7}}{4}+$$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3\sqrt{7}×\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}$=3．

点评 此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能．