Question

19．如图，在三棱锥A-BCD中，等边△BCD的边长为4，△ABD是以∠A为直角的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面BCD，点M是棱BD的中点．
（1）求证：CM⊥AB：
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由三线合一可得CM⊥BD，由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，故CM⊥AB；
（2）由勾股定理求出棱锥的高AM，代入体积公式即可．

解答 证明：（1）∵△BCD是等边三角形，M是BD中点，
∴CM⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CM?平面BCD，
∴CM⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，
∴CM⊥AB．（2）连结AM，∵△ABD是以∠A为直角的等腰直角三角形，
∴AM⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AM?平面ABD，
∴AM⊥平面BCD，
∵BC=CD=BD=4，∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=4$\sqrt{3}$．
∵AB=AD，∠BAD=90°，∴AB=2$\sqrt{2}$，BM=2．∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=2．
∴V_棱锥A-BCD=$\frac{1}{3}×{S}_{BCD}×AM$=$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×2$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判断，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．