Question

已知数列{a_n}中a₁=2，，数列{b_n}中，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{}的前n项和，求；
（Ⅲ）设T_n是数列的前n项和，求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ），而　，
∴．n∈N^*
∴{b_n}是首项为，公差为1的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，，
于是=，
故有=
=6．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知　=，
则．∴．
则 +…+=，
∴T_n=． （14分）
分析：（Ⅰ）由条件可得，再由，从而得到 ，由此证得结论
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，于是=，用裂项法求出的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知　=，求出T_n的解析式，可得T_n 的解析式，用错位相减法求出T_n的解析式，
从而可得要证的不等式成立．
点评：本题主要考查等差关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和，数列与不等式的综合应用，属于中档题．