Question

11．如图所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，当盒子的容积最大时，切去的正方形的边长x为$\frac{a}{6}$．

Answer 1

分析 设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V=（a-2x）²x=$\frac{1}{4}（a-2x）（a-2x）×4x$，由此利用均值定理能求出当盒子的容积最大时，切去的正方形的边长．

解答 解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，
则V=（a-2x）²x=$\frac{1}{4}（a-2x）（a-2x）×4x$
≤$\frac{1}{4}[\frac{（a-2x）+（a-2x）+4x}{3}]^{3}$=$\frac{2{a}^{3}}{27}$，
当且仅当a-2x=a-2x=4x，即当x=$\frac{a}{6}$时，不等式取等号，
此时V取最大值$\frac{2{a}^{3}}{27}$
．故当盒子的容积最大时，切去的正方形的边长x为$\frac{a}{6}$．
故答案为：$\frac{a}{6}$．

点评 本题考查当盒子的容积最大时，切去的正方形的边长的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意长方体的结构特征及均值定理的合理运用．