Question

9．设f（x）=|x+3|-a|2x-1|
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，对x分类讨论，去绝对值，分别求出f（x）＞3，得解集为（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，对x分类讨论：当x=$\frac{1}{2}$时，a∈R；当x≠$\frac{1}{2}$时，|$\frac{x+3}{2x-1}$|≥a对[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分离常数法得出$\frac{x+3}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}$∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞），进而求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，
当x＜-3时，
f（x）=x-4，f（x）＞3，
∴无解
当-3≤x≤$\frac{1}{2}$时，
f（x）=3x+2，f（x）＞3，
∴$\frac{1}{3}$＜x$≤\frac{1}{2}$，
当x＞$\frac{1}{2}$时，
f（x）=4-x，f（x）＞3，
∴$\frac{1}{2}＜$x＜1，
∴解集为（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
∴|x+3|≥a|2x-1|恒成立，
当x=$\frac{1}{2}$时，a∈R，
当x≠$\frac{1}{2}$时，∴|$\frac{x+3}{2x-1}$|≥a对[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
∵$\frac{x+3}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}$∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞），
∴|$\frac{x+3}{2x-1}$|的最小值为$\frac{2}{3}$，
∴a≤$\frac{2}{3}$．

点评 考查了绝对值函数的求解和恒成立问题的转换．