【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求的最小值.
【答案】(1)x2+(y-3)2=9.(2)
【解析】试题分析:(1)根据 将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程(2)由直线参数方程得,所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得t2+2(cosα-sinα)t-7=0,利用韦达定理化简得,最后根据三角函数有界性求最小值.
试题解析:(1)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.
(2)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cosα-sinα)t-7=0.
由△=4(cosα-sinα)2+4×7>0,故可设t1,t2是上述方程的两根,
所以
又由直线过点(1,2),故,结合参数的几何意义得
,当时取等.
所以|PA|+|PB|的最小值为.
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【题目】若函数的定义域为,满足对任意,有.则称为“形函数”;若函数定义域为,恒大于0,且对任意,恒有,则称为“对数形函数”.
(1)当时,判断是否是“形函数”,并说明理由;
(2)当时,判断是否是“对数形函数”,并说明理由;
(3)若函数是形函数,且满足对任意都有,问是否是“对数形函数”?请加以证明,如果不是,请说明理由.
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【题目】已知函数在区间上的最大值为2.
(1)求函数的解析式,并求它的对称中心的坐标;
(2)先将函数保持横坐标不变,纵坐标变为原来的()倍,再将图象向左平移()个单位,得到的函数为偶函数.若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】设抛物线的焦点为,过点作垂直于轴的直线与抛物线交于,两点,且以线段为直径的圆过点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线交于,两点,点为曲线:上的动点,求面积的最小值.
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【题目】在国庆周年庆典活动中,东城区教育系统近名师生参与了国庆中心区合唱、方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务.设是参与国庆中心区合唱的学校,是参与27方阵群众游行的学校,是参与国庆联欢晚会的学校.请用上述集合之间的运算来表示:①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____;②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____.
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【题目】定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数,.
(1)求函数f(x)在区间上的所有上界构成的集合;
(2)若函数g(x)在[0,+∞)上是以7为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数的相邻两对称轴间的距离为,若将的图像先向左平移个单位,再向下平移个单位,所得的函数为奇函数.
(1)求的解析式;
(2)若关于的方程在区间上有两个不等实根,求实数的取值范围.
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【题目】这是今年双十一的两道题目,第一题是双十一之前网上流传甚广的小明买卫衣问题,第二题是有关某老师的双十一战果.
(1)小明想在双十一买价值399的卫衣,已知付定金20元有订金三倍膨胀活动,但仅限当天0到2点,2点以后订金可抵用50元,但有付尾款前500名免定金活动,同时该店铺有399减20和299减10的优惠券(其使用门槛是订金尾款订金膨胀优惠金额大于等于优惠券),还有一种379减20和279减10的折扣券(其使用门槛是尾款膨胀优惠金额大于等于折扣券面额),优惠和折扣只能选一种,求小明最低多少钱能买到这件卫衣?如果你是小明,你会选择怎样购买?
(2)某老师在双十一前花1元,抢到了某商家满的一张优惠券,该商家没有订金膨胀活动,但该商家有多买多优惠活动:满3件9折,5件8折,10件及以上7折,同时可用淘宝的购物津贴(可跨店满减,店铺优惠后参加该活动,但运费不在其中),现已知该老师本单共花了元(1是买券钱,119.78是双十一付款,其中含运费6元).
请问:该老师本次购买的商品价值最低多少?最高多少?(按商家标示的淘宝价格计算,精确到元即可,已知该老师用了券)
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