Question

如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB=60°，AB=a，则CD=（　　）

• A．

  3

  3

  a
• B．

  3

  2

  a
• C．

  1

  2

  a
• D．

  1

  3

  a

Answer 1

分析：根据AC为BD的垂直平分线，结合圆的对称性可知，△ABD是边长为a的正三角形，且AC是圆的直径．再设AC与BD交于E点，圆的半径为R，利用a的值表示出线段DE、CE等的长度，最后在直角三角形CDE中，即可求出CD．

解答：解：∵AC为BD的垂直平分线，
根据圆的对称性可知，△ABD是边长为a的正三角形，且AC是圆的直径．
设AC与BD交于E点，圆的半径为R，则AE=

3

2

a，DE=

1

2

a，
AC=2R=

a

sin60°

=

2 3

3

a，∴CE=AC-AE=

3

3

a，
在直角三角形CDE中，CD=

DE2+CE2

=

( 1 2 a)2+( 3 6 a)2

=

3

3

a．
故选A．

点评：本题主要考查了与圆有关的线段，考查了解三角形及正弦定理等基本知识，属于基础题．