Question

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（Ⅲ） 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．

Answer 1

分析：（I）利用各组的频率和等于1，求出第四组的频率，从而求出第四组小矩形的高，作出频率分布直方图；
（II）计算各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和，即为数据的平均数；计算后四组的频率和，可求及格率；
（III）分别计算后三组的人数，利用组合数公式计算从中选2人的选法数，计算这2人来自同一分数段的选法数，利用古典概型概率公式计算．

解答：解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率为1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3
频率分布直方图如图：

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75%，
利用组中值估算抽样学生的平均分45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.3+95×0.05=71；
估计这次考试的平均分是71分；
（Ⅲ）[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是18，15，3．所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
他们在同一分数段的概率．P=

C 2 18 + C 2 15 + C 2 3

C 2 36

=

87

210

．

点评：本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，考查了学生的作图能力与数据处理能力，综合性较强．