Question

（1）求证：“{a_n}是等差数列”的充要条件是“存在常数k和b，使a_n=kn+b对一切n∈N^*都成立”；
（2）试问：是否存在等差数列{a_n}满足a_n=a_n²-na_n+1（n∈N^*）？若存在，请求出通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的定义进行证明．（2）根据等差数列的定义推导通项公式，

解答：解：（1）充分性．因为a_n=kn+b对一切n∈N^*都成立，所以a_n+1=k（n+1）+b，
两式相减得a_n+1-a_n=kn+b-[k（n+1）+b]=k为常数，所以：{a_n}是等差数列．
必要性：若：{a_n}是等差数列，设公差为k，a_n=kn+b=a₁+（n-1）k=kn+a₁-k
取b=a₁-k，则a_n=kn+b成立．
（2）假设存在等差数列{a_n}满足a_n=a_n²-na_n+1（n∈N^*），设a_n=kn+b，代入a_n=a_n²-na_n+1，得（k²-k）n²+（2bk-b-k）n+b²+1-k-b=0，
从而

k2-k=0        ① 2bk-b-k=0  ② b2+1-k-b=0  ③

，由①得k=0或k=1．若k=0，代入②得b=0不满足③．
当k=1时，解得b=1，所以a_n=n+1．
故等差数列{n+1}满足性质．

点评：本题主要考查等差数列的定义和证明，利用定义是解决本题的关键，考查学生的运算能力．