Question

设有抛物线C：y=-x²+

9

2

x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．
（1）求m的值，以及P的坐标；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
（3）设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标，代入直线和抛物线方程，联立求得k，利用P在的象限判断出P的坐标和所求的斜率．
（2）过P点作切线的垂线，其方程为：y=-2x+5，代入抛物线方程，设Q点的坐标把直线与抛物线的方程联立求得x₂，则y₂可得，即求得Q的坐标．
（3）先设出C上的一点R，利用点到直线的距离求得其到直线PQ的距离的表达式，根据DOPQ的面积小于DPQR的面积，S_DOPQ＜S_DPQR，判断出OP＜d获得不等式求得t的范围．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x₁，y₁），则y₁=kx₁①，y₁=-x₁²+

9

2

x₁-4②，
①代入②，得：x₁²+（k-

9

2

）x₁+4=0
因为点P为切点，所以（k-

9

2

）²-16=0，得：k=

17

2

或k=

1

2

当k=

17

2

时x₁=-2，y₁=-17；当k=

1

2

时，x₁=2，y₁=1；
因为点P在第一象限，故所求的斜率k=

1

2

，P的坐标为（2，1），
（2）过P点作切线的垂线，其方程为：y=-2x+5③，代入抛物线方程，得：
x²-

13

2

x+9=0，设Q点的坐标为（x₂，y₂），则2x₂=9，所以x₂=

9

2

，y₂=-4，
所以Q点的坐标为（

9

2

，-4）
（3）设C上有一点R（t，-t²+

9

2

t-4），它到直线PQ的距离为：
d=

|2t+(-t2+ 9 2 t-4)-5|

5

=

|t2- 13 2 t+9|

5

点O到直线PQ的距离PO=

5

，S_DOPQ=

1

2

?PQ?OP，S_DPQR=

1

2

?PQ?d，
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，SD_OPQ＜SD_PQR，
即：OP＜d，即：|t2-

13

2

t+9|＞5，
t2-

13

2

t+4＞0或t2-

13

2

t+14＜0
解之得：t＜

13- 105

4

或t＞

13+ 105

4

所以t的取值范围为t＜

13- 105

4

或t＞

13+ 105

4

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合．考查了学生分析问题和基础知识的熟练掌握．