Question

14．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x．
（1）证明f（x+4）=f（x）；
（2）求f（log₂24）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），经过变形即可得出f（x+4）=f（x）．
（2）求f（log₂24）的值要先对f（log₂24）化简，再根据函数周期性求值．

解答 证明：（1）∵f（x）满足f（x+2）=f（-x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
（2）f（log₂24）=f（3+log₂3）=f（log₂3-1）=${2}^{{log}_{2}3-1}$=$\frac{3}{2}$

点评 本题考点是函数奇偶性的性质，考查利用函数的性质证明恒等式以及求值，解答本题关键是正确理解奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x）的意义．