Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜2，则不等式f（2x）＜4x的解集为

{x|x＞

1

2

}

．

Answer 1

分析：由f'（x）＜2，可设g（x）=f（x）-2x，求导得g'（x）＜0，知g（x）在定义域内是减函数；又g（1）=0，根据单调性知x＞1时，g（x）＜0，即f（x）＜2x，从而得f（2x）＜4x的解集．

解答：解：设g（x）=f（x）-2x，则
g'（x）=f'（x）-2＜0，∴g（x）在定义域R内是减函数；
又g（1）=f（1）-2×1=2-2=0，
∴当x＜1时，g（x）=f（x）-2x＞g（1）=0，即：f（x）＞2x；
当x＞1时，g（x）=f（x）-2x＜g（1）=0，即：f（x）＜2x；
∴不等式f（2x）＜4x的解集为：2x＞1，即x＞

1

2

；
故答案为：{x|x＞

1

2

}．

点评：本题考查了用导数判定函数的调性的应用，并且用构造函数法来解答这个问题，属于不容易想到的问题．