【题目】已知函数
，其中e是自然对数的底数.
（1）若
，证明：
；
（2）若
时，都有
，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）当
时，
，利用导数求出函数
的单调区间并求出最小值，即可证明
；
（2）令
，由
时，都有
，可得
在
上恒成立，利用导数判断
在的单调性，分别讨论
和
两种情况，即可得到
的取值范围.
（1）由题意，当时，，
所以
，当
时，
；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，单调递增；
所以在时取得极小值，也是最小值.
所以
.
（2）令
，，
由时，都有，所以在上恒成立.
由
，令
，
则
在上恒成立.
所以
在上单调递增，又
，
①当时，
，
所以
在上单调递增，
所以
，即，满足题意.
②当时，因为在上单调递增，
所以
，
存在
，使得当
时，
，在
上单调递减，
所以当时，
，这与在上恒成立矛盾.
综上所述，，即实数a的取值范围
.
智能训练练测考系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】数学与文学之间存在着奇妙的联系，诗中有回文诗，如“山东落花生花落东山，西湖回游鱼游回湖西”，倒过来读，仍然是原句！数学上也有这样一类数，如66，202，3773，34543，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，我们称这样的数为“回文数”，现用数字1，2，3，4组数（可重复用），则组成的五位“回文数”的个数为（ ）
A.24B.28C.48D.64
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【题目】已知抛物线
：
的准线经过点
，过的焦点
作两条互相垂直的直线
，
，直线与交于
，
两点，直线与交于
，
两点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
的最小值为16
C.四边形
的面积的最小值为64D.若直线的斜率为2，则
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【题目】在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产.某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为
其中0＜a＜1，0＜b＜1.
（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；
（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），
（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；
（ii）设某数列{xn}满足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.
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【题目】已知椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆交于P，Q两点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设椭圆的左顶点为A，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k1k2＝－
，求实数m的值．
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【题目】甲、乙两位战士参加射击比赛训练.从若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲82 81 79 78 95 88 93 84
乙92 95 80 75 83 80 90 85
（1）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数；
（2）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位战士参加合适？请说明理由.
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【题目】已知函数f（x）＝x2+ax+blnx（a，b∈R），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2＝0．
（1）判断f（x）在定义域内的单调性，并说明理由；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．
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【题目】已知圆
：
，圆
：
，动圆
与圆和圆均内切.
（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（2）过点的直线
与轨迹交于
，
两点，过点且垂直于的直线交轨迹于两点
，
两点，求四边形
面积的最小值.
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