Question

已知数列

1

1×3

，

1

3×5

，

1

5×7

，…

1

(2n-1)(2n+1)

（1）求出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想前n项和S_n并证明．

Answer 1

分析：（1）直接计算即可得出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）由（1）猜想Sn=

n

2n+1

．由

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可证明．

解答：解：（1）S1=

1

3

，S2=

1

3

+

1

3×5

=

2

5

，S₃=

2

5

+

1

5×7

=

3

7

，S4=

3

7

+

1

7×9

=

4

9

．
（2）由（1）猜想Sn=

n

2n+1

．
证明：∵

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查了“计算--猜想--证明”的方法、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于基础题．