Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0；
②对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）²．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
（3）若对任意x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=[f（x₁）+f（x₂）]成立．

Answer 1

解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+C=0，则b=a+c，
∵△=b²-4ac=（a-c）²，
∴当a=c时，△=0，此函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0．函数f（x）有两个零点．
（2）证明：假设a，b，c存在，有（1）可知抛物线的对称轴为x=1，
∴-=-1，即b=2a，①
由（2）可知对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）²，令x=1，
得0≤f（1）-1≤0，所以，f（1）=1，即a+b+c=1，②
又因为f（x）-x≥0恒成立，
∴a＞0，
（b-1）²-4ac≤0，即（a-c）²≤0，
∴a=c，③由①②③得a=c=，b=，
所以f（x）=x²+x+，经检验a，b，c的值符合条件．
（3）令g（x）=f（x）-[f（x₁）+f（x₂）]，则
g（x₁）=f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]g（x₂）
=f（x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]
={f（x₂）-f（x₁）}，
∵f（x₁）≠f（x₂）
∴g（x₁）g（x₂）＜0，所以g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一个实根，
即存在x₀∈（x₁，x₂）使f（x₀）=[f（x₁）+f（x₂）]成立．
分析：（1）由f（-1）=0可求得b=a+c，利用△=（a-c）²分析判断即可；
（2）假设a，b，c存在，由抛物线的对称轴为x=1可得b=2a，①，由②可求得a＞0，a=c，从而可求得a，b，c的值；
（3）令g（x）=f（x）-[f（x₁）+f（x₂）]，可证得g（x₁）g（x₂）＜0，由零点存在定理可知存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=[f（x₁）+f（x₂）]成立．
点评：本题考查二次函数的性质，考查函数零点的判定定理，考查化归思想与构造函数的思想的综合应用，属于难题．