Question

已知(1+2

x

)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的

5

6

．
（1）求该展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，第r项，第r+2项的系数，根据已知条件列出方程组，求出n的值，得到二项式系数最大的项是第4项和第5项，利用二项展开式的通项公式求出它们的值．
（2）设第r+1项的系数最大，列出不等式组

C r n 2r=2• C r-1 n 2r-1 C r n = 5 6 C r+1 n •2r+1

，求出r的值，代入二项展开式的通项公式求出展开式中系数最大的项．

解答：解：（1）第r+1项系数为C_n^r•2^r，第r项系数为C_n^r-1•2^r-1，第r+2项系数为C_n^r+1•2^r+1
依题意得到

C r n 2r=2• C r-1 n 2r-1 C r n = 5 6 C r+1 n •2r+1

，即

2r=n-1 5(n-r)=3(r-1)

，解得n=7，
所以二项式系数最大的项是第4项和第5项．
所以T4=

C

3 7

(2

x

)3=280x

5

2

，T5=

C

4 7

(2

x

)4=560x2．
（2）设第r+1项的系数最大，则

C r n 2r≥ C r-1 n 2r-1 C r n ≥ C r+1 n •2r+1

解得

13

3

≤r≤

16

3

又因为r∈N，所以r=5
∴展开式中系数最大的项为T6=

C

5 7

(2

x

)5=672 • x

5

2

点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题，应该利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题．