Question

19．定义函数φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1\\;x≥0}\\{-1\\;x＜0}\end{array}\right.$，f（x）=x²-2x（x²-a）•φ（x²-a）．
（1）解关于a的不等式f（1）≤f（0）；
（2）在0＜a≤1的条件下，若f（x）≥f（1）在x∈[0，1]恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）分情况当a＞1时和当a≤1时两种情形进行讨论求解；
（2）分情况进行分类讨论，0＜a≤1时，讨论当$\sqrt{a}$≤x≤1时，当0≤x＜$\sqrt{a}$，若$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{4}$时，若$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{4}$时，运用参数分离，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．

解答 解：（1）由f（1）≤f（0），得1-2（1-a）φ（1-a）≤0，
当a＞1时，φ（1-a）=-1，所以1+2（1-a）≤0，
∴a≥$\frac{3}{2}$；
当a≤1时，φ（1-a）=1，所以1-2（1-a）≤0，
a≤$\frac{1}{2}$，
综上，不等式的解集为：{a|a≤$\frac{1}{2}$或a≥$\frac{3}{2}$}．
（2）当x=1时，f（x）=f（1），
根据题意，对于任意的x∈[0，1），f（x）≥f（1）恒成立，
当0＜a≤1时，由f（x）≥f（1），得
x²-2x（x²-a）Φ（x²-a）≥2a-1．
当$\sqrt{a}$≤x≤1时，x²-2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x-1）≥2x³-x²-1，①
∵x∈[0，1），①成立，等价于2a≤$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x-1}$，
∴2a≤2x²+x+1，
∴2a≤2a+$\sqrt{a}$+1，
当0≤x＜$\sqrt{a}$，x²+2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x+1）≤2x³+x²+1，②
∵x∈[0，1），
②成立，得
2a≤$\frac{2{x}^{3}+{x}^{2}+1}{x+1}$，
∴2a≤2x²-x+1．
若$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{4}$时，0＜a≤$\frac{1}{16}$，2a≤2（$\sqrt{a}$）²-$\sqrt{a}$+1，
所以a≤1，结合条件，得
0＜a≤$\frac{1}{16}$；
若$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{16}$＜a≤1，2a≤1-$\frac{1}{8}$，
所以a≤$\frac{7}{16}$，结合条件，
得$\frac{1}{16}$＜a≤$\frac{7}{16}$；
综上，0＜a≤$\frac{7}{16}$．
可得a的最大值为$\frac{7}{16}$．

点评 本题重点考查了分段函数、恒成立问题，函数的单调性、分类讨论思想等知识，属于比较难的题．