Question

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．
（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．
（2）求b＋c的取值范围．

Answer 1

（1）4;（2）(2，4]

解析试题分析：（1）由＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝．可求得角A的值，又因为△ABC的面积S＝，a＝2，在三角形中利用余弦与三角形的面积公式，即可解出b,c的值或者直接构造b+c，即可得到结论．
（2）由（1）可知角A，以及边长．用角B结合正弦定理分别表示出b,c．再结合角B的范围，求出b+c的取值范围即可．
（1）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝，
∴－cos²＋sin²＝，即－cosA＝，
又A∈(0，π)，∴A＝．       …………3分
又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，
由余弦定理得：a²＝b²＋c²－2bc·cos＝b²＋c²＋bc，
∴16＝(b＋c)²，故b＋c＝4．………7分
（2）由正弦定理得：＝＝4，又B＋C＝p－A＝，
∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，         12分
∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范围是(2，4]…．．14分
考点：1．三角函数恒等变换．2．正余弦定理的应用．3．三角函数最值的求法．