Question

11．函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln（1+x），_{\;}^{\;}x≥0\\ ln\frac{1}{1-x}{，_{\;}}x＜0\end{array}\right.$的单调性为单调递增；奇偶性为奇函数．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性的性质判断函数的定义域，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．

解答 解：当x≥0时，f（x）=ln（1+x）为增函数，且f（x）≥f（0）=0，
当x＜0时，f（x）=ln$\frac{1}{1-x}$=-ln（1-x）为增函数，且f（x）＜0，
则函数f（x）在定义域上为增函数，
若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=ln（1-x），f（x）=ln$\frac{1}{1-x}$=-ln（1-x），此时f（-x）=-f（x），
若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=ln$\frac{1}{1+x}$=-ln（1+x），此时f（-x）=-f（x），
综上f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数．
故答案为：单调递增，奇函数；

点评 本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义以及复合函数单调性的性质是解决本题的关键．