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已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设M(x1,y1);N(x2,y2),若O为坐标原点,且x1•x2+y1y2=12,求直线l的方程.
分析:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围.
(2)由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程化简,再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2 和x1•x2 的值,可得y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)的值,再由x1•x2+y1•y2=12,解得k的值,从而求得直线l的方程.
解答:解:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,
设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0.…(2分)
由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.
故由
|2k-3+1|
k2+1
=1
,解得:k1=
4-
7
3
k2=
4+
7
3

故当
4-
7
3
<k<
4+
7
3
时,过点A(0,1)的直线与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点.
(2)由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,
可得 (1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,
∴x1+x2=
4(k+1)
k2+1
,x1•x2=
7
k2+1

∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=
12k2+4k+1
k2+1

再由x1•x2+y1•y2=
12k2+4k+8
k2+1
=12,解得 k=1,
故直线l的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.
点评:本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过点A(0,1),且方向向量为
a
=(1,k)
的直线l与⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1,相交于M、N两点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)求证:
AM
AN
=定值;
(3)若O为坐标原点,且
OM
ON
=12,求k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过点A(0,1)斜率为k的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点.
①求实数k的取值范围;
②求线段MN的中点轨迹方程;
③求证:
AM
AN
为定值;
④若O为坐标原点,且
OM
ON
=12
,求k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过点A(0,1)的直线l,斜率为k,与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N两个不同点.
(1)求实数k取值范围;
(2)若O为坐标原点,且
OM
ON
=12
,求k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知过点A(0,1)的直线l与抛物线C:y=x2交于M,N两点,又抛物线C在M,N两点处的两切线交于点B,M,N两点的横坐标分别为x1,x2
(1)求x1x2的值;
(2)求B点的纵坐标t的值.

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