Question

已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），若O为坐标原点，且x₁•x₂+y₁y₂=12，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）的值，再由x₁•x₂+y₁•y₂=12，解得k的值，从而求得直线l的方程．

解答：解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．…（2分）
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由

|2k-3+1|

k2+1

=1，解得：k1=

4- 7

3

，k2=

4+ 7

3

．
故当

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

时，过点A（0，1）的直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
∴x₁+x₂=

4(k+1)

k2+1

，x₁•x₂=

7

k2+1

，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=

12k2+4k+1

k2+1

，
再由x₁•x₂+y₁•y₂=

12k2+4k+8

k2+1

=12，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．