Question

已知曲线C：xy-2kx+k²=0与直线l：x-y+8=0有唯一公共点，而数列{a_n}的首项为a₁=2k，且当n≥2时点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上，数列{b_n}满足关系bn=

1

an-2

①求k的值；
②求证数列{b_n}是等差数列；
③求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：①联立曲线和直线方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0即可求得k的值；
②把k值代入曲线方程，由点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上得出递推式，由bn=

1

an-2

解得an=2+

1

bn

．
代入递推式后整理即可证明数列{b_n}是等差数列；
③由等差数列的通项公式求出数列{b_n}的通项公式，代入an=2+

1

bn

可求数列{a_n}的通项公式．

解答：①解：联立

x-y+8=0 xy-2kx+k2=0

，得x²+（8-2k）x+k²=0
因为曲线C：xy-2kx+k²=0与直线l：x-y+8=0有唯一公共点，
所以方程x²+（8-2k）x+k²=0只有唯一解，
所以△=（8-2k）²-4k²=64-32k=0，所以k=2；
②因为k=2，所以曲线C变成xy-4x+4=0
当n≥2时点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上，则
a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，
由bn=

1

an-2

，所以an=2+

1

bn

．
则b1=

1

a1-2

=

1

2

．
所以(2+

1

bn-1

)(2+

1

bn

)-4(2+

1

bn-1

)+4=0．

2

bn-1

+

2

bn

+

1

bn

1

bn-1

-

4

bn-1

=0
-

2

bn-1

+

2

bn

+

1

bn

1

bn-1

=0．
整理得bn-bn-1=

1

2

（n≥2）．
所以数列{b_n}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列．
③解：由数列{b_n}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
所以bn=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
an=2+

1

bn

=2+

1

n 2

=2+

2

n

．

点评：本题是圆锥曲线和数列的综合题，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了等差关系的确定，考查了学生综合处理问题和解决问题的能力，是中高档题．