Question

【题目】已知函数在x=1处取得极值2．

（1）求f(x)的解析式；

（2）设函数 ，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：（1）求导可得，由题意可得,，解得，，经检验符合题意，则函数的解析式为.

（2）结合(1)的结论可得在上最小值为，则，函数的定义域为，，分类讨论：①当时，符合题意；②当时，函数单调递减，函数最小值为，满足题意；③当时，明显不合题意，综上所述，的取值范围为.

详解：（1），

因为在处取到极值为2，所以,，

，解得，，

经检验，此时在处取得极值．故.

（2）由（1）所以在上单调递增，

所以在上最小值为所以在上最小值为，

依题意有，

函数的定义域为，，

①当时，，函数在上单调递增，其最小值为，合题意；

②当时，函数在上有，单调递减，

在上有，单调递增，

所以函数最小值为，

解不等式，得到

从而知符合题意.

③当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，舍去.

综上所述，的取值范围为.