Question

若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有f（-x+

π

4

）=f（x+

π

4

），则下列函数中，符合上述条件的有

 

．（填序号）
①f（x）=cos4x；
②f（x）=sin（2x+

π

2

）；
③f（x）=sin（4x+

π

2

）；
④f（x）=cos（

3π

2

-4x）．

Answer 1

分析：根据条件先判断函数的一条对称轴是x=

π

4

，再利用诱导公式对选项中解析式进行化简，根据正弦（余弦）函数的奇偶性和对称轴方程进行逐一判断．

解答：解：由题意知，函数的一条对称轴是x=

π

4

，
①、f（x）=cos4x是偶函数，把x=

π

4

代入得，4x=π，则x=

π

4

是函数的对称轴，故①符合条件；
②、f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x是偶函数，把x=

π

4

代入得，2x=

π

2

，则x=

π

4

不是函数的对称轴，故②不符合题意；
③、f（x）=sin（4x+

π

2

）=cos4x，同①分析，故③符合题意；
④、f（x）=cos（

3π

2

-4x）=-sin4x是奇函数，故④不符合题意．
故答案为：①③．

点评：本题考查了正弦（余弦）函数的奇偶性和对称性的应用，需要先通过诱导公式进行化简，考查了分析问题和解决问题的能力．