分析 (1)①f(x)在$(0,\frac{1}{2})$上为减函数,在$(\frac{1}{2},+∞)$上为增函数,当0<a<b且f(a)=f(b)时,$0<a<\frac{1}{2}<b$,且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}{b}$,即可求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值;②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}{b}$,代入,利用配方法求$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的取值范围;
(2)假设存在[m,n]⊆(0,+∞),当x∈[m,n]时,f(x)的值域为[m,n],则m>0.$f(\frac{1}{2})=0$,可得$\frac{1}{2}∉[m,n]$.利用分类讨论,即可得出结论.
解答 解:(1)由题意,$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-2,0<x<\frac{1}{2}\\ 2-\frac{1}{x},x≥\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
∴f(x)在$(0,\frac{1}{2})$上为减函数,在$(\frac{1}{2},+∞)$上为增函数. …(1分)
①∵0<a<b,且f(a)=f(b),
∴$0<a<\frac{1}{2}<b$,且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}{b}$,
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$.…(3分)
②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}{b}$,
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}={(4-\frac{1}{b})^2}+\frac{2}{b^2}=\frac{3}{b^2}-\frac{8}{b}+16=3{(\frac{1}{b}-\frac{4}{3})^2}+\frac{32}{3}$,
∵$0<\frac{1}{b}<2$,∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}∈[\frac{32}{3},16)$.…(5分)
(2)假设存在[m,n]⊆(0,+∞),当x∈[m,n]时,f(x)的值域为[m,n],则m>0.
∵$f(\frac{1}{2})=0$,∴$\frac{1}{2}∉[m,n]$.…(7分)
①若$0<m<n<\frac{1}{2}$,∵f(x)在$(0,\frac{1}{2})$上为减函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}-2=n\\ \frac{1}{n}-2=m.\end{array}\right.$解得$m=n=\sqrt{2}-1$或$m=n=-\sqrt{2}-1$,不合题意.…(9分)
②若$\frac{1}{2}<m<n$,∵f(x)在$(\frac{1}{2},+∞)$上为增函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{1}{m}=m\\ 2-\frac{1}{n}=n.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=1.\end{array}\right.$不合题意.…(11分)
综上可知,不存在[m,n]⊆(0,+∞),当x∈[m,n]时,f(x)的值域为[m,n],即f(x)不是(0,+∞)上的“保域函数”.…(12分)
点评 本题主要考查了新的定义,以及函数的值域,同时考查了等价转化的数学思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $\frac{π}{5}$ | C. | 3 | D. | $\frac{2π}{5}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (x-2)2+(y+1)2=1 | B. | (x-2)2+(y-1)2=1 | C. | (x-1)2+(y+2)2=1 | D. | (x+1)2+(y-2)2=1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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