Question

已知向量

a

=（sin（π-ωx），cosωx），

b

=（1，1）且f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若x∈(0，

π

2

)，解方程f（x）=1；
（Ⅲ）在△OAB中，A（x，2），B（-3，5），且∠AOB为锐角，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示及三角函数公式，得出f（x）=

2

sin(ωx+

π

4

）
（Ⅱ）利用特殊角的三角函数值求解
（Ⅲ）∠AOB为锐角可转化为0＜

OA

•

OB

=-3x+10，且

OA

、

OB

不同向．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（π-ωx）+cosωx=sinωx+cosωx=

2

sin(ωx+

π

4

）
--∴π=

2π

ω

∴ω=2----（4分）
（Ⅱ）由f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)=1，得2x+

π

4

=

π

4

+2kπ或2x+

π

4

=

3π

4

+2kπ，k∈Z----（6分）
又x∈(0，

π

2

)，∴x=

π

4

----（8分）
（Ⅲ）

OA

=(x，2)，

OB

=(-3，5)∵∠AOB为锐角，∴0＜

OA

•

OB

=-3x+10----（10分）∴x＜

10

3

又x=-

6

5

时

OA

、

OB

同向----（11分）∴x＜

10

3

且x≠-

6

5

----（12分）

点评：本题考查向量数量积的坐标表示，以及应用．属于基础题．