Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线L：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个交点；
（2）设直线L与圆C交于点A、B，若|AB|=

17

，求直线L的倾斜角；
（3）设直线L与圆C交于A、B，若定点P（1，1）满足2

AP

=

PB

，求此时直线L的方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线L：mx-y+1-m=0 过定点P（1，1），再根据点P在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，可得直线L与圆C总有两个交点．
（3）设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），由题意2

AP

=

PB

可得2x₁+x₂=3． ①再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C，化简可得x1+x 2 = 

2m2

1+m2

 ②，由①②解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线L的方程．

解答：解：（1）证明：直线L：mx-y+1-m=0 即 y-1=m（x-1），故直线过定点P（1，1），
而1²+（1-0）²=2＜5，故点P在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，故直线L与圆C总有两个交点．
（2）由于半径r=

5

，弦心距d=

r2 -( AB 2 )2

=

3

2

，
再由点到直线的距离公式可得 d=

|0-1+1-m|

m2+1

，∴

3

2

=

|0-1+1-m|

m2+1

，
解得 m=±

3

．
故直线的斜率等于±

3

，故直线的倾斜角等于

π

3

 或

2π

3

．
（3）设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），由题意2

AP

=

PB

 可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即 2x₁+x₂=3． ①
再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C：x²+（y-1）²=5，化简可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，由根与系数的关系可得 x1+x 2 = 

2m2

1+m2

  ②．
由①②解得 x₁=

3+m2

1+m2

，故点A的坐标为 （

3+m2

1+m2

，

1+2m+m2

1+m2

）．
把点A的坐标代入圆C的方程可得 m²=1，故 m=±1，故直线L的方程为 x-y=0，或x+y-2=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．