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    （2011•丰台区二模）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
    （Ⅰ）求证：C'D⊥平面ABD；
    （Ⅱ）求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值；
    （Ⅲ）求二面角D-BE-C'的余弦值．
    本题重点考查的是翻折问题．在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚．
    分析：（Ⅰ）根据题意可得翻折成△BC'D以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6，BC’=BC=10，BD=8，即BC'2=C'D2+BD2，所以C'D⊥BD，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直．
    （II）根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而转化为线面角．
    （III）根据建立的坐标系分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角得到答案．
    解答：解：（Ⅰ）证明：平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
    沿直线BD将△BCD翻折成△BC'D
    可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
    即BC'2=C'D2+BD2，
    故C'D⊥BD．                                                        …（2分）
    ∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC'D∩平面ABD=BD，C'D?平面BC'D，
    ∴C'D⊥平面ABD．                                                   …（5分）
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知C'D⊥平面ABD，且CD⊥BD，

    如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz．                       …（6分）
    则D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
    ∵E是线段AD的中点，
    ∴E（4，3，0），
    BD
    =(-8，0，0)    ．
    在平面BEC'中，
    BE
    =(-4，3，0)    ，
    BC′
    =(-8，0，6)    ，
    设平面BEC'法向量为
    n
    =(x，y，z)    ，
    ∴
    BE
    •
    n
    =0
    BC′
    •
    n
    =0
    ，即
    -4x+3y=0
    -8x+6z=0
    ，
    令x=3，得y=4，z=4，故
    n
    =(3，4，4)    ．                                …（8分）
    设直线BD与平面BEC'所成角为θ，则sinθ=|cos＜
    n
    ，
    BD
    ＞|=
    |
    n
    •
    BD
    |
    |
    n
    |•|
    BD
    |
    =
    3
    		41
    41
    ．                               …（9分）
    ∴直线BD与平面BEC'所成角的正弦值为
    3
    		41
    41
    ．                      …（10分）
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC'的法向量为
    n
    =(3，4，4)    ，
    而平面DBE的法向量为
    DC′
    =(0，0，6)    ，
    ∴cos＜
    n
    ，
    C′D
    ＞=
    n
    •
    C′D
    |
    n
    |•|
    C′D
    |
    =
    4
    		41
    41
    ，
    因为二面角D-BE-C'为锐角，
    所以二面角D-BE-C'的余弦值为
    4
    		41
    41
    ．                              …（13分）
    点评：本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角，以及翻折问题，学生必须要掌握在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键．
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    =
    a
    ，
    OB
    =
    b
    ，
    OC
    =
    c
    ，则下列等式中成立的是（　　）

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