Question

有幂函数(a¹ 0)若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：

(1)是奇函数；(2)是(－¥ ，＋¥ )内的增函数；(3)函数的图像经过原点．又已知同时具有性质(1)的共有15个，具有性质(2)的共有12个，具有性质(3)的共有18个．试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？

Answer 1

答案：21,3
解析：

解：由幂数的性质知，在(－¥ ，＋¥ )内的增函数一定是奇函数，且图像一定过原点． 又若一个幂函数是奇函数，且其图像又经过原点，则这个函数一定是在(－¥ ，＋¥ )上的增函数． 设定些幂函数中分别具备性质(1)(2)(3)的函数分别构成集合A、B、C，而幂指数小于零的构成集合D，依题意得 card(A)=15，card(B)=12，card(C)=18， 又BÍ A，BÍ C，A∩CÍ B，BÍ A∩C， ∴A∩C=B． 则card(A∪B∪C)=card(A∪C)=card(A)＋card(C)－card(A∩C)=card(A)＋card(C)－card(B)=15＋18－12=21． 即共有幂函数21个． 又幂指数小于零的幂函数图像一定不经过原点，反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21－18=3个．