Question

执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

（1）若输入λ=

2

，写出输出结果；
（2）若输入λ=2，令bn=

1

an-1

，证明b_n是等差数列，并写出数列a_n的通项公式；
（3）若输入λ=

5

2

，令cn=

2an-1

an-2

，T=c₁+2c₂+3c₃+…+2011c₂₀₁₁．求证：T＜

8

9

．

Answer 1

分析：（1）根据程序框图循环结构图直接可以判断当λ=

2

时的输出结果，（2）结合题干条件求证b_n+1-b_n是一个常数，即可求出数列a_n的通项公式，（3）首先证明c_n是等比数列，然后根据等比数列求和公式求出T_n，最后进行大小比较．

解答：解：（1）输出结果为0，

2

2

，

2

．（4分）
（注：写对第一个数给（1分），写对二个数得（2分）．）
（2）当λ=2时，bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1 2-an -1

-

1

an-1

=

2-an

an-1

-

1

an-1

=-1（常数），
n∈N*，n≤2010．
所以，b_n是首项b₁=-1，公差d=-1的等差数列．（6分）
故b_n=-n，

1

an-1

=-n，数列a_n的通项公式为an=1-

1

n

，n∈N*，n≤2011．（9分）
（3）当λ=

5

2

时，an+1=

1

5 2 -an

，cn=

2an-1

an-2

cn+1

cn

=

2an+1-1 an+1-2

2an-1 an-2

=

2 5 2 -an -1 1 5 2 -an -2

2an-1 an-2

=

1 4 • 2an-1 an-2

2an-1 an-2

=

1

4

，（11分）
∴c_n是以

1

2

为首项，

1

4

为公比的等比数列．cn=

1

2

(

1

4

)n-1=2(

1

4

)nT_n=c₁+2c₂+3c₃++n•c_n=2(

1

4

)+4(

1

4

)2+6(

1

4

)3++2n(

1

4

)n

1

4

Tn=2(

1

4

)2+4(

1

4

)3+6(

1

4

)4++2n(

1

4

)n+1
两式作差得(1-

1

4

)Tn=2(

1

4

)+2(

1

4

)2+2(

1

4

)3+2(

1

4

)4++2(

1

4

)n-2n(

1

4

)n+1
即

3

4

Tn=

2•( 1 4 )[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

-2n(

1

4

)n+1=

2

3

[1-(

1

4

)n]-2n(

1

4

)n+1∴Tn=

8

9

[1-(

1

4

)n]-

8n

3

(

1

4

)n+1=

8

9

-

8

9

(

1

4

)n-

8n

3

(

1

4

)n+1（13分）
当n=2011时，T=

8

9

-

8

9

(

1

4

)2011-

8

3

•2011•(

1

4

)2012＜

8

9

（14分）

点评：本题主要考查程序框图和数列求和的知识点，解答本题的关键是看懂程序框图的运算程序，熟练掌握等差和等比数列的性质，本题把程序框图和数列的知识点结合在一起进行考查，也是一道不错的习题．