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集合A={x∈R|y=lgx},B={x∈R|2x2-2(1-a)x+a(1-a)>0},D=A∩B.
(I)当a=2时,求集合D(用区间表示);
(II)当0<a<
12
时,求集合D(用区间表示);
(III)在(II)的条件下,求函数f(x)=4x3-3(1+2a)x2+6ax在D内的极值点.
分析:(I)根据对数函数的性质得出A={x|x>0},当a=2时 解不等式 x2+x-1>0得出集合B,再求出它们的交集即可;
(II)不等式 2x2-2(1-a)x+a(1-a)>0,令h(x)=2x2-2(1-a)x+a(1-a),先计算△=4(a-1)(3a-1).下面对a进行分类讨论:①当0<a<
1
3
时△>0
;②当a=
1
3
,△=0,③当
1
3
<a<
1
2
,△<0,分别求出集合D即可;
(III)先求出函数f(x)的导数f'(x)=12x2-6(1+2a)x+6a,再利用导数结合对字母a分类讨论研究原函数的单调性即可得出函数的极值点.
解答:解:(I)A={x|x>0}
当a=2时 B={x∈R|x2+x-1>0}
解不等式 x2+x-1>0得 x<
-1-
5
2
或 x>
-1+
5
2

B={x|x<
-1-
5
2
,或x>
-1+
5
2
}

A∩B=(
-1+
5
2
,+∞)

(II)不等式 2x2-2(1-a)x+a(1-a)>0,
令h(x)=2x2-2(1-a)x+a(1-a),
△=[-2(1-a)]2-4×2×a(1-a)
=4(1-a)2-8(1-a)a
=4(1-a)(1-a-2a)
=4(1-a)(1-3a)
=4(a-1)(3a-1)
①当0<a<
1
3
时△>0
,此时方程h(x)=0有两个不同的解x1=
2(1-a)-
4(3a-1)(a-1)
4
=
(1-a)-
(3a-1)(a-1)
2
x2=
2(1-a)+
4(3a-1)(a-1)
4
=
(1-a)+
(3a-1)(a-1)
2

∴B={x|x<x1,或x>x2},∵x1+x2=1-a,∵0<a<
1
3

∴x1+x2=1-a>0,
x1x2=
(1-a)2-(3a-1)(a-1)
4
=
(a-1)(a-1-3a+1)
4
=
(a-1)(-2a)
4
=
a(1-a)
2
>0

∴x1>0且x2>0,
∴D=A∩B=(0,x)∪(x2+∞)=(0,
(1-a)-
(3a-1)(a-1)
2
)∪(
(1-a)+
(3a-1)(a-1)
2
,+∞)

②当a=
1
3
△=0此时方程h(x)=0有唯一解x1=x2=
1
3
此时B=(-∞,
1
3
)∪(
1
3
,+∞)于是D=A∩B=(0,
1
3
)∪(
1
3
,+∞)

③当
1
3
<a<
1
2
,△<0,对?x∈R,h(x)>0,∴B=R,∴D=A∩B=A=(0,+∞)
(III)∵f'(x)=12x2-6(1+2a)x+6a
=6[2x2-(1+2a)x+a]
=6(2x-1)(x-a)

f′(x)=0得x1=
1
2
x2=a

0<a<
1
2
,∴当x<a时f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,a)上单调递增
a<x<
1
2
时f′(x)<0
f(x)在(a,
1
2
)上单调递减

x>
1
2
时f′(x)>0
f(x)在(
1
2
,+∞)上单调递增

①当
1
3
<a<
1
2
时  D=(0,+∞),
当0<x<a时f'(x)>0∴f(x)在(0,a)单调递增,
a<x<
1
2
时f′(x)>0
f(x)在(
1
2
,+∞)上单调递增

x>
1
2
时f′(x)>0
f(x)在(
1
2
,+∞)上单调递增
f(x)有极小值点为
1
2
,极大值点为a

②当a=
1
3
D=(0,
1
,3
)∪(
1
3
,+∞)

此时f(x)在D上有极小值点
1
2

0<a<
1
3
,D=(0,x1)∪(x2,+∞),
x1=
(1-a)-
(3a-1)(a-1)
2
=
(1-a)-
3a2-4a+1
2

∵3a2-4a+1-(9a2-6a+1)
=-6a2+2a
=-2a(3a-1)=2a(1-3a)>0

x1
(1-a)-
9a2-6a+1
2
=
1-a-(3a-1)
2
=
1-a-(1-3a)
2
=
2a
2
=a

1-
2
2
<a<
1
3
x2=
(1-a)+
(3a-1)(a-1)
2
1-a+a
2
=
1
2

此时 
1
2
∈(x2,+∞)

又∵x2=
(1-a)+
(3a-1)(a-1)
2
1-a+
9a2-6a+1
2
=
2-4a
2
=1-2a

又∵(1-2a)-a=1-3a>0,∴x2>1-2a>a,∴a∉(x2,+∞),此时f(x)在D上有极小值点
1
2

0<a<1-
2
2
x2=
1-a+
(3a-1)(a-1)
2
1-a+a
2
=
1
2
,此时f(x)在D上没有极值点.
综上所述:
1
3
<a<
1
2
时,f(x)有极小值点为
1
2
,极大值点为a

a=
1
3
,时f(x)在D上有极小值点
1
2

0<a<1-
2
2
,f(x)在D上没有极值点;
1-
2
2
<a<
1
3
f(x)在D上有极小值点
1
2
点评:本题考查不等式的解法,导数知识的运用,考查交集及其运算,解题的关键是根据导数确定函数的极值,属于中档题.
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