Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记函数f（x）在区间[2a，a+1]上的最大值为g（a），当a≥-4时，求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设知可设f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由于a+1＞2a，可得a＜1，因为函数图象的开口向上，对称轴为直线x=1，分1-2a＞a+1-1和1-2a≤a+1-1两种情况，利用二次函数的性质，求得的最大值g（a）的解析式，从而求得g（a）的最大值．

解答：解：（1）由题设知，图象的对称轴为直线x=1，可设f（x）=a（x-1）²+1，…（3分）
由f（0）=3，得a=2，故f（x）=2x²-4x+3．…（5分）
（2）首先，应有a+1＞2a，∴a＜1，因为图象的开口向上，对称轴为直线x=1，
当1-2a＞a+1-1，即a＜

1

3

时，所求的最大值g（a）=f（2a）=8a²-8a+3．…（7分）
当1-2a≤a+1-1，即

1

3

≤a＜1时，所求的最大值g（a）=f（a+1）=2a²+1．…（9分）
∴g（a）=

2a2+1 ，  1 3 ≤a＜1 8a2-8a+3 ， a＜ 1 3

，…（11分）
函数g（a）在[

1

3

，1)上单调递增，在(-∞，

1

3

)上单调递减．…（13分）
∴而f（1）=3，f（-4）=163，当a≥-4时，g（a）的最大值为163． …（16分）

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．