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某森林出现火灾,火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁1m2森林损失费为60元,(t表示救火时间,x表示去救火消防队员人数),问;
(1)求t关于x的函数表达式.
(2)求应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少?
【答案】分析:(1)设派x名消防员前去救火,用t分钟将火扑灭,总损失为y元,则t==
(2)总损失为灭火材料、劳务津贴|车辆、器械、装备费与森林损失费的总和,得出y=125tx+100x+60(500+100t)=125x+100x+30000+,利用基本不等式或导数求最小值.
解答:解:(1)设派x名消防员前去救火,用t分钟将火扑灭,总损失为y元,则t==
(2)y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费
=125tx+100x+60(500+100t)
=125x+100x+30000+
方法一:y=1250•+100(x-2+2)+30000+
=31450+100(x-2)+
≥31450+2 =36450,
当且仅当100(x-2)=
即x=27时,y有最小值36450.
答:应该派27名消防员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为36450元、
方法二:y′=+100-=100-
令100-,=0,
解得x=27或x=-23(舍)
当x<27时y′<0,当x>27时y′>0,
∴x=27时,y取最小值,最小值为36450元,
答:应该派27名消防员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为36450元.
点评:本题考查阅读理解、建模、解模的能力、以及利用基本不等式求最值能力、利用导数求最值的能力.
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(1)求t关于x的函数表达式.
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(1)设派x名消防队员前去救火,用t分钟将火扑灭,试建立的函数关系式;

(2)问应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?

(总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费)

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